Senin, 01 September 2014

Kaluza-Klein

Teori Kaluza–Klein

From Wikipedia, the free encyclopedia

Beyond the Standard Model
CMS Higgs-event.jpg
Detektor data partikel CMS Simulated Large Hadron Collider menangkap gambar sebuah   Higgs boson yang dihasilkan oleh tumbukan proton yang meluruh menjadi jet hadron dan elektron
Standard Model
Dalam Fisika, teori Kaluza-Klein (teori KK) adalah sebuah model yang berusaha mencari solusi bagi penyatuan dua gaya fundamental yaitu gaya gravitasi dan gaya elektromagnetisme. Teori ini pertama kali diumumkan pada tahun 1921 yang diusulkan oleh matematikawan Theodor Kaluza yang memperluas teori relativitas umum hingga dimensi-5 ruang-waktu. Persamaan yang dihasilkan dapat diuraikan lebih lanjut menjadi seperangkat persamaan, satu kelompok ekuivalen dengan persamaan medan Einstein, himpunan persamaan lainnya ekuivalen dengan persamaan Maxwell dan bagian terakhir mengandung suatu medan skalar ekstra yang disebut sebagai "radion".

Tinjauan


Ruang M × C dikompaktifikasi atas himpunan kompak C, dan sesudah dekomposisi Kaluza–Klein diperoleh sebuah teori medan efektif effective field theory atas  M.

Penguraian ruangwaktu 5 dimensional  five-dimensional spacetime menjadi persamaan Einstein Einstein equations dan persamaan Maxwell empat dimensi pertama kali ditemukan oleh  Gunnar Nordström di 1914, dalam konteks teori beliau tentang gravitasi, namun selanjutnya teori tersebut dilupakan. Kaluza menerbitkan penurunannya pada 1921 sebagai sebuah upaya untuk menyatukan elektromagnetisme dengan relativitas Einstein.

Pada tahun 1926, Oskar Klein mengusulkan bahwa dimensi ruang spasial yang ke empat sejatinya mengkeriting dalam lingkaran yang jejarinya sangat kecil, sehingga sebuah partikel yang bergerak dalam jarak yang pendek sepanjang sumbu itu akan kembali di titik mana ia berangkat. Jarak tempuh partikel hingga kembali ke tempat semula ini dikatakan sebagai ukuran dari dimensi. Dimensi ekstra ini sebuah himpunan kompak, dan fenomena ruang-waktu dengan dimensi kompak ini disebut sebagai kompaktifikasi.

Dalam geometri modern, dimensi ekstra ke 5 ini dapat difahami sebagai sebuah grup lingkaran U(1)( circle group U(1)), sebagaimana elektromagnetisme  (electromagnetism) dapat secara esensial diformulasikan sebagai sebuah teori gauge (gauge theory) pada sebuah fiberbundel ( fiber bundle,  circle bundle, )dengan  gauge group U(1). Dalam teori Kaluza–Klein grup ini menyarankan bahwa simetri gauge adalah simetri dimensi kompak sirkuler. Sekali interpretasi geometris ini difahami, relatif langsung untuk menggantikan  U(1) oleh sebuah grup Lie umum (Lie group). Perumuman demikian sering juga disebut sebagai teori Yang-Mills (Yang–Mills theories). Jika sebuah pembedaan ditarik, maka teori Yang-Mills berlaku di ruang-waktu datar, sedangkan Kaluza-Klein berlaku di kasus lebih umum ruang-waktu lengkung. Ruang basis teori Kaluza-Klein tidak harus ruang-waktu 4 dimensional, dapat juga sebarang manifold (pseudo-)Riemannian, atau bahkan manifold supersimetrik atau orbifold atau bahkan ruang nonkomutatif.

Sebagai sebuah pendekatan bagi teori yang menyatukan gaya-gaya fundamental alam, adalah langsung untuk menerapkan teori Kaluza-Klein dalam usaha menyatukan gravitasi dengan gaya kuat dan elektroweak dengan menggunakan grup simetri model standar ( Standard Model), SU(3) × SU(2) × U(1). Meskipun demikian, sebuah usaha untuk mengkonversi konstruksi geometrik menarik ini menjadi sebuah model yang bonafid bagi realitas bertungkus lumus dengan sejumlah persoalan, termasuk kenyataan bahwa fermions harus diperkenalkan dalam suatu cara yang dibuat-buat (dalam sebuah model nonsupersimetrik). Meskipun demikian, KK, tetaplah suatu batu uji penting dalam fisika teoretik dan sering ditanamkan dalam teori yang lebih sempurna. Teori ini dikaji secara tersendiri sebagai sebuah objek geometri yang menarik dalam teori K (K-theory).


Bahkan dengan absennya kerangka fisika teoretis yang memuaskan, ide untuk mengeksplorasi dimensi ekstra yang terkompaktifikasi tetap menarik perhatian di kalangan komunitas astrofisikawan dan fisikawan eksperimental. Berbagai ramalan, dengan konsekuensi eksperimental real dapat dibuat  (dalam kasus  large extra dimensions/warped models). Sebagai contoh, dengan prinsip paling sederhana, dapat diharapkan diperoleh gelombang berdiri (standing waves) dalam dimensi ekstra terkompaktifikasi. Jika sebuah dimensi ekstra spasial berjari-jari  R, massa invarian (mass) gelombang berdiri tersebut adalah Mn = nh/Rc dengan n suatu bilangan bulat (integer), h konstanta Planck (Planck's constant) dan c laju kecepatan cahaya (speed of light). Sehimpunan massa yang mungkin ini sering disebut sebagai Kaluza–Klein tower. Begitu juga dalam Similarly,  Teori medan kuantum termal kompaktifikasi dimensi waktu euklidean mengarah kepada   frekuensi Matsubara sehingga menghasilkan spektrum energi termal terdiskritkan.

Contoh pencaharian eksperimental termasuk usaha yang dilakukan kolaborasi  CDF , yang telah menganalisis kembali data  penumbuk partikel  untuk mencari jejak efek yang terkait dengan dimensi ekstra luas/warped models.

Brandenberger dan Vafa telah berspekulasi bahwa pada masa alam semesta dini, inflasi kosmik menyebabkan tiga dimensi ruang mengembang ke ukuran kosmologis di mana dimensi ruang sisa lainnya tetap mikroskopik.

Space-time-matter theory

One particular variant of Kaluza–Klein theory is space-time-matter theory or induced matter theory, chiefly promulgated by Paul Wesson and other members of the so-called Space-Time-Matter Consortium.[1] In this version of the theory, it is noted that solutions to the equation
R_{AB}=0\,
with RAB the five-dimensional Ricci curvature, may be re-expressed so that in four dimensions, these solutions satisfy Einstein's equations
G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}\,
with the precise form of the Tμν following from the Ricci-flat condition on the five-dimensional space. Since the energy–momentum tensor Tμν is normally understood to be due to concentrations of matter in four-dimensional space, the above result is interpreted as saying that four-dimensional matter is induced from geometry in five-dimensional space.
In particular, the soliton solutions of RAB = 0 can be shown to contain the Friedmann–Lemaitre–Robertson–Walker metric in both radiation-dominated (early universe) and matter-dominated (later universe) forms. The general equations can be shown to be sufficiently consistent with classical tests of general relativity to be acceptable on physical principles, while still leaving considerable freedom to also provide interesting cosmological models.

Geometric interpretation

The Kaluza–Klein theory is striking because it has a particularly elegant presentation in terms of geometry. In a certain sense, it looks just like ordinary gravity in free space, except that it is phrased in five dimensions instead of four.

The Einstein equations

The equations governing ordinary gravity in free space can be obtained from an action, by applying the variational principle to a certain action. Let M be a (pseudo-)Riemannian manifold, which may be taken as the spacetime of general relativity. If g is the metric on this manifold, one defines the action S(g) as
S(g)=\int_M R(g) \mathrm{vol}(g)\,
where R(g) is the scalar curvature and vol(g) is the volume element. By applying the variational principle to the action
\frac{\delta S(g)}{\delta g} = 0
one obtains precisely the Einstein equations for free space:
R_{ij} - \frac{1}{2}g_{ij}R = 0
Here, Rij is the Ricci tensor.

The Maxwell equations

By contrast, the Maxwell equations describing electromagnetism can be understood to be the Hodge equations of a principal U(1)-bundle or circle bundle π: P → M with fiber U(1). That is, the electromagnetic field F is a harmonic 2-form in the space Ω2(M) of differentiable 2-forms on the manifold M. In the absence of charges and currents, the free-field Maxwell equations are
dF = 0 and d*F = 0.
where * is the Hodge star.

The Kaluza–Klein geometry

To build the Kaluza–Klein theory, one picks an invariant metric on the circle S1 that is the fiber of the U(1)-bundle of electromagnetism. In this discussion, an invariant metric is simply one that is invariant under rotations of the circle. Suppose this metric gives the circle a total length of Λ. One then considers metrics \widehat{g} on the bundle P that are consistent with both the fiber metric, and the metric on the underlying manifold M. The consistency conditions are:
  • The projection of \widehat{g} to the vertical subspace \mbox{Vert}_pP \subset T_pP needs to agree with metric on the fiber over a point in the manifold M.
The Kaluza–Klein action for such a metric is given by
S(\widehat{g})=\int_P R(\widehat{g}) \;\mbox{vol}(\widehat{g})\,
The scalar curvature, written in components, then expands to
R(\widehat{g}) = \pi^*\left( R(g) - \frac{\Lambda^2}{2} \vert F \vert^2\right)
where π* is the pullback of the fiber bundle projection π: P → M. The connection A on the fiber bundle is related to the electromagnetic field strength as
\pi^*F = \mathrm{d}A
That there always exists such a connection, even for fiber bundles of arbitrarily complex topology, is a result from homology and specifically, K-theory. Applying Fubini's theorem and integrating on the fiber, one gets
S(\widehat{g})=\Lambda \int_M \left( R(g) - \frac{1}{\Lambda^2} \vert F \vert^2 \right) \;\mbox{vol}(g)
Varying the action with respect to the component A, one regains the Maxwell equations. Applying the variational principle to the base metric g, one gets the Einstein equations
R_{ij} - \frac{1}{2}g_{ij}R = \frac{1}{\Lambda^2} T_{ij}
with the stress–energy tensor being given by
T^{ij} = F^{ik}F^{jl}g_{kl} - \frac{1}{4}g^{ij} \vert F \vert^2,
sometimes called the Maxwell stress tensor.
The original theory identifies Λ with the fiber metric g55, and allows Λ to vary from fiber to fiber. In this case, the coupling between gravity and the electromagnetic field is not constant, but has its own dynamical field, the radion.

Generalizations

In the above, the size of the loop Λ acts as a coupling constant between the gravitational field and the electromagnetic field. If the base manifold is four-dimensional, the Kaluza–Klein manifold P is five-dimensional. The fifth dimension is a compact space, and is called the compact dimension. The technique of introducing compact dimensions to obtain a higher-dimensional manifold is referred to as compactification. Compactification does not produce group actions on chiral fermions except in very specific cases: the dimension of the total space must be 2 mod 8 and the G-index of the Dirac operator of the compact space must be nonzero.[2]
The above development generalizes in a more-or-less straightforward fashion to general principal G-bundles for some arbitrary Lie group G taking the place of U(1). In such a case, the theory is often referred to as a Yang–Mills theory, and is sometimes taken to be synonymous. If the underlying manifold is supersymmetric, the resulting theory is a super-symmetric Yang–Mills theory.

Empirical tests

Up to now, no experimental or observational signs of extra dimensions have been officially reported. Many theoretical search techniques for detecting Kaluza–Klein resonances have been proposed using the mass couplings of such resonances with the top quark, however until the Large Hadron Collider (LHC) reaches full operational power observation of such resonances are unlikely. An analysis of results from the LHC in December 2010 severely constrains theories with large extra dimensions.[3]
The observation of a Higgs-like boson at the LHC puts a brand new empirical test in the search for Kaluza–Klein resonances and supersymmetric particles. The loop Feynman diagrams that exist in the Higgs Interactions allow any particle with electric charge and mass to run in such a loop. Standard Model particles besides the top quark and W boson do not make big contributions to the cross-section observed in the H → γγ decay, but if there are new particles beyond the Standard Model, they could potentially change the ratio of the predicted Standard Model H → γγ cross-section to the experimentally observed cross-section. Hence a measurement of any dramatic change to the H → γγ cross section predicted by the Standard Model is crucial in probing the physics beyond it.

Notes

  1. 5Dstm.org
  2. L. Castellani et al., Supergravity and superstrings, Vol 2, chapter V.11
  3. CMS Collaboration, "Search for Microscopic Black Hole Signatures at the Large Hadron Collider", http://arxiv.org/abs/1012.3375

References

Further reading

Diposting oleh di
Label: , , ,

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)